Description
李哲非常非常喜欢柠檬树,特别是在静静的夜晚,当天空中有一弯明月温柔地照亮地面上的景物时,他必会悠闲地坐在他亲手植下的那棵柠檬树旁,独自思索着人生的哲理。
李哲是一个喜爱思考的孩子,当他看到在月光的照射下柠檬树投在地面上的 影子是如此的清晰,马上想到了一个问题:树影的面积是多大呢?
李哲知道,直接测量面积是很难的,他想用几何的方法算,因为他对这棵柠 檬树的形状了解得非常清楚,而且想好了简化的方法。
李哲将整棵柠檬树分成了 $n$ 层,由下向上依次将层编号为 $1,2,…,n$。从第 $1$ 到 $n-1$ 层,每层都是一个圆台型,第 $n$ 层(最上面一层)是圆锥型。对于圆台型, 其上下底面都是水平的圆。对于相邻的两个圆台,上层的下底面和下层的上底面 重合。第 $n$ 层(最上面一层)圆锥的底面就是第 $n-1$ 层圆台的上底面。所有的底面的圆心(包括树顶)处在同一条与地面垂直的直线上。李哲知道每一层的高度为 $h_1,h_2,…,h_n$,第 $1$ 层圆台的下底面距地面的高度为 $h_0$,以及每层的下底面的圆的半径 $r_1,r_2,…,r_n$。李哲用熟知的方法测出了月亮的光线与地面的夹角为 $alpha$。
为了便于计算,假设月亮的光线是平行光,且地面是水平的,在计算时忽略树干所产生的影子。李哲当然会算了,但是他希望你也来练练手。
Solution
自适应辛普森
乍一看十分麻烦。。。
由于是平行光,投影一下就变成了下图。
首先,第一个 $h_0$ 可以直接忽略(题目说了忽略树干影子)。其次,圆的半径不会改变,只有高度与圆台投影形成的梯形尺寸需要注意(最后一个圆锥也可看成圆台,三角形看成梯形)。
只要我们得出了各个圆以及梯形的坐标与大小,不必考虑重合与否,直接套上辛普森,问题便迎刃而解。
我们发现,高度为 $H$ 的物体的长度会变为$H \cdot \displaystyle \frac 1 {tan \ \alpha}$,这可以帮助我们确定横坐标。
比较麻烦的是梯形。我们需要知道它的左右端点以及上下底长。它的腰是由相邻两圆的公切线构成的(知道即可,我们并不需要储存这两条线),两底则可以由左右端点距圆心距离和半径通过勾股定理得出。因此我们先要得出左右端点的位置。
观察下图,发现这两个端点离圆心很近,我们将 $AE,CH$ 分别相连,分别过$E,H$ 向 $x$ 轴作垂线,过$A$ 点向$CH$ 作垂线,应用简单的相似三角形知识即可求出左右端点的坐标。这里图就不给出了。
至此,我们已经得出了所有圆和梯形的位置与大小。套上辛普森板子即可。
还有,在计算 $F$ 值时梯形可能会麻烦些,但是这只是初中几何题,这里不再赘述。
Code
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